무리수와 무한연분수의 증명

무리수

수학에서 무리수는 정수나 분수로 표현할 수 없는 실수를 의미합니다. 대표적으로 원주율 π와 자연로그의 밑 e가 무리수입니다. 이들은 무한소수로 나타내어지며, 정확한 값을 소수점 이후 무한히 많은 자리까지 표현할 수 없습니다.

무리수가 무리수인 것을 증명하기 위해서는 유리수를 소수로 표현할 수 없음을 보이면 됩니다. 특정한 유리수의 경우 유한 소수로 표현될 수 있으므로, 이러한 유한 소수 비교를 통해 무리수임을 증명할 수 있습니다.

√2가 유리수라고 가정하고, √2를 만족하는 m, n의 최소값을 구합니다.

(√2 * m) / n = √2 (√2 * m) = n * √2 2 * m^2 = n^2 m^2 = (n^2) / 2

여기서 왼쪽의 m^2은 짝수이므로 m도 짝수입니다. 그렇다면 m을 2로 나누어 m'이라 하면, (n^2) / 2 = (m’^2)입니다. 따라서 n^2은 2의 배수입니다. 이는 n이 짝수라는 것을 의미합니다.

n은 짝수이므로 n을 2로 나누어 n'이라 하면, (n’^2) = 2 * (m’^2)입니다. 여기서 왼쪽의 n^2는 짝수이므로 n도 짝수입니다. 그렇다면 m과 n은 모두 짝수가 되는데, 이는 모순입니다. 따라서 √2는 무리수입니다.

무한연분수는 연분수가 무한히 이어진 형태의 수열로 표현되는 실수입니다. 정확한 값을 소수점 이후 무한히 많은 자리까지 표현할 수 있습니다. 무한연분수는 무리수를 근사하는데 유용하게 사용됩니다.

무한연분수는 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타냅니다:

x = a₀ + 1 / (a₁ + 1 / (a₂ + 1 / (a₃ + 1 / (a₄ + ...))))

위 식에서 a₀, a₁, a₂, ... 은 무한한 수의 계수를 나타냅니다. 이러한 무한연분수는 귀납적으로 정의됩니다. 무한연분수는 유리수가 아닌 실수를 근사하는 데에 사용될 수 있습니다.

√2를 무한연분수로 근사하기 위해서는 다음과 같은 식을 사용할 수 있습니다:

√2 = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + ...))))

이 식은 유한한 수의 항으로 시작하여 무한한 수의 항으로 이어지는 무한연분수를 나타냅니다. 이 무한연분수를 아래와 같이 유한한 수의 항으로 근사할 수 있습니다:

√2 ≈ 1 + 1 / (2 + 1 / 2) = 1.5

위 근사값은 실제로 √2와 매우 근접한 값입니다. 물론 무한히 많은 항을 사용하면 그 정확도를 높일 수 있습니다.

이와 같이 무리수와 무한연분수는 수학에서 중요한 개념으로, 여러 가지 증명과 근사법을 통해 그 특성을 이해하고 활용할 수 있습니다.