부분분수 공식 제곱

소개

안녕하세요! 수학 전문 블로거에 오신 것을 환영합니다. 이번에는 "부분분수 공식 제곱"에 대해 알려드리겠습니다. 이 공식은 교과서 수학에서 중요한 개념 중 하나로, 제곱을 포함하는 분수를 분해하고 간단하게 표현하는 방법입니다. 이해하기 쉽도록 예제를 통해 자세히 설명하도록 하겠습니다.

부분분수 분해 기본 원리

부분분수 분해는 제곱을 포함하는 분수를 분해하여 각 분수를 더하는 방식으로 수식을 간단하게 표현하는 기법입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태의 분수를 대상으로 합니다.

① 분모에 서로 다른 첫 번째 차수의 선형식이 있는 경우:

분모에 (ax + b)(cx + d)(ex + f)와 같은 선형식들이 있는 분수를 생각해보겠습니다. 이 경우, 이 선형식들에 해당하는 각각의 분수를 찾아내고, 이들을 더해주면 원래의 분수를 구할 수 있습니다. 부분분수의 분해는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

② 중복된 차수의 선형식이 있는 경우:

분모에 (ax + b)^2와 같은 중복된 선형식들이 있는 경우에는 중복 정도에 따라 다른 분수들로 분해할 수 있습니다. 중복 정도에 따른 분해 방법과 차수에 대한 예제를 통해 자세히 알아보도록 하겠습니다.

예제

예제 1:

다음 분수를 부분분수의 합으로 분해해보세요.

$$\frac{2x^3 + 4x^2 - 12x + 8}{(x + 2)(x - 1)^2}$$

해결 방법:

먼저 분자의 차수가 분모의 차수를 초과하지 않는지 확인해야 합니다. 이 경우, 분자의 차수는 3이고 분모의 차수는 3입니다. 따라서, 우리는 적절한 부분 분수로 분해할 수 있습니다.

이 경우, 분모에 중복된 선형식이 없으므로 각 선형식에 해당하는 부분 분수를 찾아야 합니다.

첫 번째 분수는 (x + 2)에 대응하며, 두 번째 분수는 (x - 1)^2에 대응합니다.

따라서, 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

$$\frac{2x^3 + 4x^2 - 12x + 8}{(x + 2)(x - 1)^2} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}$$

이제 분모의 곱을 양변에 곱해주고 분자를 정리하면 다음과 같습니다.

$$2x^3 + 4x^2 - 12x + 8 = A(x - 1)^2 + B(x + 2)(x - 1) + C(x + 2)$$

위 식에서 그냥 알파벳으로 표현된 항들의 계수를 비교하면, 다음과 같습니다.

계수 A: $2 = A$

계수 B: $4 = B + A$

계수 C: $-12 = C + B$

위의 식을 사용하여 A, B 및 C의 값을 찾을 수 있습니다.

A = 2, B = 2 및 C = -14의 값을 얻을 수 있습니다.

따라서, 원래의 분수를 부분분수의 합으로 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

$$\frac{2x^3 + 4x^2 - 12x + 8}{(x + 2)(x - 1)^2} = \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} + \frac{-14}{(x - 1)^2}$$

이와 같이 분수를 부분분수의 합으로 분해할 수 있습니다.

다른 예제를 통해 부분분수 공식 제곱을 더 자세히 알아보도록 하겠습니다.

예제 2:

다음 분수를 부분분수의 합으로 분해해보세요.

$$\frac{7x^3 - 5x^2 - 13x + 2}{(x - 3)^2(x + 2)}$$

해결 방법:

이 예제에서는 분모에 중복된 선형식 (x - 3)^2이 있는 것을 볼 수 있습니다. 이 경우, 중복 정도에 따라 다른 분수들로 분해할 수 있습니다.

첫 번째 분수는 (x - 3)^2에 대응하며, 두 번째 분수는 (x - 3)에 대응합니다.

따라서, 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

$$\frac{7x^3 - 5x^2 - 13x + 2}{(x - 3)^2(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{x + 2}$$

이번에도 분모의 곱을 양변에 곱해주고 분자를 정리하면 다음과 같습니다.

$$7x^3 - 5x^2 - 13x + 2 = A(x - 3)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 3)^2$$

위 식에서 계수를 비교하여 A, B 및 C의 값을 찾을 수 있습니다.

A = 7, B = -5 및 C = -3의 값을 얻을 수 있습니다.

따라서, 원래의 분수를 다음과 같이 부분분수의 합으로 분해할 수 있습니다.

$$\frac{7x^3 - 5x^2 - 13x + 2}{(x - 3)^2(x + 2)} = \frac{7}{x - 3} + \frac{-5}{(x - 3)^2} + \frac{-3}{x + 2}$$

이렇게 부분분수를 활용하여 분수를 간단한 형태로 분해할 수 있습니다.

결론

부분분수 분해 기법의 제곱에 대해 알아보았습니다. 부분분수 분해는 제곱을 포함하는 분수를 분해하여 간단하게 표현할 수 있도록 도와줍니다. 이를 통해 복잡한 분수를 간단한 형태로 표현할 수 있고, 미분, 적분 등의 수학적 계산에 유용하게 사용할 수 있습니다.

여기서 다룬 예제들을 통해 부분분수 분해 공식의 적용 방법을 이해하고, 실제 문제에 적용할 수 있도록 연습해보세요. 부분분수 분해는 수학의 다양한 분야에서 출현하는 문제들을 해결하는 데에 중요한 도구입니다.

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